DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL


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1 DISTRIBUIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Si realizamos n ensayos o repeticiones independientes, es decir, en idénticas condiciones, y siempre centrados en el suceso A. La variable X que cuenta el número de veces que ha ocurrido el suceso A define un modelo binomial. Función de probabilidad o de uantía: f ( x ) P( X x ) n x 0 p x q n x si x: 0,1,2,...,n en otro lugar Función de Distribución: x : Número de éxitos. x : 0, 1, 2,..., n n : Número de ensayos o pruebas. p : Probabilidad de éxito. q : Probabilidad de fracaso. q 1 p F( x ) P(X x ) f ( x ) x x k 0 k 0 n k n k ( ) p (1 p) k Valor Esperado: E ( x ) n p Varianza: V ( x ) n p q aracterísticas: Un experimento Binomial se caracteriza por ser un experimento aleatorio que: - onsiste de n pruebas o ensayos idénticos e independientes. - En cada uno de los ensayos sólo hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes llamados éxito y fracaso. - La probabilidad de éxito p permanece constante en cada uno de los diferentes ensayos. - La variable aleatoria X se define como el número de éxitos en los n ensayos. Ejemplos: - Lanzar una moneda n ó más veces para observar el número de caras. - Seleccionar n diskettes de un lote que contiene un % de defectuosos para verificar cuántos diskettes defectuosos contiene la muestra. - Determinar en cada uno de n estudiantes si están aprobados o reprobados. - Verificar si cada uno de n objetos son defectuosos. Gladys Enríquez Mantilla 207

2 USO DE TABLA: Tabla de Términos Individuales: Lectura directa: Si p > 0,50: P ( X x ) b( x,n, p ) P ( X x ) b( n x, n, q ) Ejemplos: Si n 5 y p 0.25 hallar: P ( X 3) b(3,5, 0.25 ) Si n 5 y p 0.60 hallar: P ( X 2) b(2,5, 0.60) b( 3,5, 0.40) Tabla de Términos Acumulativos: Lectura directa: P ( X x ) B( x,n, p ) Ejemplos: Si n 5 y p 0.25 hallar: P ( X 3) B( 3,5, 0.25 ) Si n 5 y p 0.60 hallar: P ( X 2) B(2,5, 0.60 ) se debe descomponer, aplicar la propiedad para p > 0.50 y luego aplicar la tabla de términos individuales. Gladys Enríquez Mantilla 208

3 Ejemplos: 1.- Un Ingeniero de Sistemas, planea un estudio piloto para su disertación doctoral. omo parte de su estudio, planea enviar cuestionarios a 20 contadores públicos seleccionados en forma aleatoria. Sabe que el índice de respuesta para este grupo de personas es de 30%, y espera que al menos once de los cuestionarios estén completos y le sean regresados. Hallar la probabilidad de que en realidad el número de cuestionarios completos que reciba sea: a) exactamente doce. n 20 p 0,30 ( x 12 ) b ( 12; 20; 0,30 ) 0,004 P b) al menos once. ( x 11 ) B ( 11; 20; 0,30 ) 0,017 P c) entre once y quince inclusive. P ( 11 x 15 ) P ( x 11) P ( x 16 ) 0,017 0,00 0, Se envían invitaciones para cenar a los 20 delegados que asisten a una convención, y se cree que para cada delegado invitado, la probabilidad de que acepte es 0,9. Si se asume que toman la decisión de aceptar la invitación independientemente, cuál es la probabilidad de que como mucho 17 delegados acepten la invitación? n 20 P ( A ) 0,90 P ( x 17) P( x 0,323 18) [ P(x 18) + P(x 19) + P(x 20) ] [ b(18 ; 20 ; 0,90) + b(19 ; 20 ; 0,90) + b(20 ; 20 ; 0,90) ] [ b(2 ; 20 ; 0,10) + b(1 ; 20 ; 0,10) + b(0 ; 20 ; 0,10) ] [ 0, , ,122 ] 3.- Suponga que el 5% de cierto modelo de calculadoras de bolsillo fallan durante los primeros 60 días y son regresadas a la tienda para ser reparadas. Si una compañía compra 25 calculadoras: a) Aproximadamente, cuántas espera que fallen en el lapso de 60 días?. P ( F ) 0,05 p n 25 E ( x ) n p 25 0,05 1,25 1 b) uál es la probabilidad de que ninguna falle? P ( x 0 ) b ( 0 ; 25 ; 0,05 ) 0,277 c) alcular la probabilidad de que fallen tres o más. P ( x 3 ) B ( 3 ; 25 ; 0,05 ) 0,127 d) Hallar la probabilidad de que como máximo fallen 4. P ( x 4 ) 1 P ( x 5 ) 1 0,007 0,993 Gladys Enríquez Mantilla 209

4 Si n 15 y p alcular las siguientes probabilidades: a) P ( X 6) alc Distribuciones de probabilidad Binomial lic en Aceptar P ( X 6) b) P ( X < 8 ) Gráfica Gráfica de distribución de probabilidad lic en Ver probabilidad lic en Aceptar. lic en Área sombreada. Gladys Enríquez Mantilla 210

5 Gráfica de distribución Binomial; n15; p0,35 0,20 0,887 Probabilidad 0,15 0,10 0,05 lic en Aceptar. 0,00 7 X P ( X < 8 ) P ( X 7 ) c) P( X 10 ) Gráfica de distribución Binomial; n15; p0,35 0,20 Probabilidad 0,15 0,10 0,05 0,0124 lic en Aceptar. 0,00 0 X 10 P( X 10 ) d) P (2 X < 7 ) Gráfica de distribución Binomial; n15; p0,35 0,20 0,741 Probabilidad 0,15 0,10 0,05 0, X lic en Aceptar. P (2 X < 7 ) P(2 X 6) Gladys Enríquez Mantilla 211

6 DISTRIBUIÓN DE PROBABILIDAD POISSON Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson cuando el fenómeno se presenta aleatoria o independientemente en el tiempo o espacio en el cual sólo interesa la ocurrencia del fenómeno un número determinado de veces y no interesa la no ocurrencia del fenómeno. Función de probabilidad o de uantía: f (x ) λ x e λ P(X x ) x! 0 si x : 0, 1, 2,... en otro caso Función de Distribución: Valor Esperado: F ( x ) P(X x ) x f ( x ) x k 0 k 0 λ x e λ x! Varianza: E (x ) λ V ( x ) λ aracterísticas: - El experimento consiste en el conteo del número de veces que ocurre un evento en un lapso de tiempo o espacio. - El número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo o espacio es independiente del número de eventos que ocurren en otras unidades. - El promedio de sucesos por unidad de intervalo, es igual a λ. Ejemplos: En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidades de tiempo, área, pieza, etc. 2 - Número de defectos por m de una tela. - Número de faltas de ortografía por página. - Número de llamadas telefónicas recibidas en la central por minuto. - Número de visitas a un sitio Web en una hora. - Se quiere contabilizar el número de accidentes de carretera en un fin de semana. - El número de personas que llegan en el lapso de un minuto a la cola de un banco. - El número de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, por hora o por minuto. Aplicaciones: La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos: la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce, el número de errores tipográficos por página en un libro, el número de fallas de una computadora durante una semana de operación. La distribución de Poisson tiene aplicaciones en ontrol de alidad y muestreo de aceptación. Además, ciertas distribuciones continuas importantes utilizadas en teoría de confiabilidad y teoría de colas dependen del proceso de Poisson. Gladys Enríquez Mantilla 212

7 Uso de Tabla: P (x x ) F( x ) Lectura directa. Ejemplos: Ejemplo: Si λ 1.4 Hallar: P ( X 5 ) Se supone que el número de defectos en los rollos de tela de cierta industria textil es una variable aleatoria Poisson con una media de 0,1 defectos por metro cuadrado. Hallar la probabilidad de: a) Tener dos defectos en un metro cuadrado de tela. 0,1 defectos m 2 λ 0, 1 0,1 2 e. 0,1 P 2! ( x 2 ) 0, 005 b) Tener un defecto en 10 metros cuadrados de tela,. 0,1 defectos m 2 λ m 2 λ e.1 P 1! ( x 1 ) 0, 368 c) Que no hayan defectos en 20 metros cuadrados de tela. λ 2 P ( x 0 ) 0, Un fabricante de tejidos de lana afirma que el promedio de defectos en sus productos es de uno por 2 yardas cuadradas. Una yarda cuadrada de muestra de su producto, escogida al azar, muestra 3 defectos. uál es la probabilidad de obtener tres o más defectos en cualquier yarda cuadrada? 1 defecto λ 2 1 yardas yarda 1 λ 2 P ( X 3) 1 P( X 2) 1 0,986 0,0144 Gladys Enríquez Mantilla 213

8 3.- En una fábrica de equipos eléctricos, la orden de pedido llega completamente al azar a una razón promedio de 1,5 por día. En un periodo de una semana, cuál es la probabilidad de que el número de órdenes que se reciban sea: a) Exactamente dieciocho. 1,5 órdenes 1 día λ 7 días λ 10,5 P( X 18) b) Más de quince. e 10,5 10,5 18! 18 0,01035 P ( X > 15) 1 P( X 15) 1 0,932 0,068 c) No más de diez. P ( X 10) 0,521 d) Entre nueve y dieciséis inclusive. P(9 X 16) P( X 16) P( X 8) 0,960 0,279 0, El director de un centro de cómputo encuentra que el número de solicitudes por hora para acceso a una computadora se puede describir mediante una distribución de Poisson. Si se sabe que en promedio se presentan 10 solicitudes por hora; cuál es la probabilidad de que en una hora determinada el número de solicitudes que se presenten sea: a) Exactamente siete. b) No más de dos. 10 solicitudes 1 hora λ 10 P(X 7) 10 7 e 10 7! P (X 2) 0,003 0,090 c) Entre tres y cinco inclusive. P(3 X 5) P( X 5) P( X 2) 0,067 0,003 0, En la empresa Aerolíneas del Noroeste rara vez se pierde el equipaje. En la mayoría de los vuelos no se observa un mal manejo de las maletas; algunos reportan una valija perdida; unos cuantos tienen dos maletas extraviadas; rara vez un vuelo tiene tres; y así sucesivamente. Supóngase que una muestra aleatoria de 1000 viajes aéreos revela un total de 300 maletas perdidas. uál es el porcentaje de vuelos en el que: a) No se registra equipaje perdido. λ P ( X 0 ) b) Hay exactamente una maleta perdida. e ! % P ( X 1) 0.30 e 1! % Gladys Enríquez Mantilla 214

9 Si λ 3. 5 y alcular las siguientes probabilidades: a) P ( X 6) alc Distribuciones de probabilidad Poisson lic en Aceptar P ( X 6) b) P ( X < 8 ) Gráfica Gráfica de distribución de probabilidad lic en Ver probabilidad lic en Aceptar. lic en Área sombreada. Gladys Enríquez Mantilla 215

10 Gráfica de distribución Poisson; Media3,5 0,20 0,973 Probabilidad 0,15 0,10 0,05 0,00 X 7 10 lic en Aceptar. P ( X < 8 ) P ( X 7 ) c) P( X 10 ) Gráfica de distribución Poisson; Media3,5 0,20 Probabilidad 0,15 0,10 0,05 0,00 0 X 10 0,00331 lic en Aceptar. P( X 10 ) d) P (2 X < 7 ) Gráfica de distribución Poisson; Media3,5 0,20 0,799 Probabilidad 0,15 0,10 0,05 0, X lic en Aceptar. P (2 X < 7 ) P(2 X 6) Gladys Enríquez Mantilla 216

11 DISTRIBUIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRIA Un conjunto de N objetos contiene k objetos clasificados como éxitos y N-k como fracasos. Se toma una muestra de tamaño n, al azar y (sin reemplazo) de entre los N objetos. La variable aleatoria hipergeométrica representa el número de éxitos en la muestra. Ejemplo: Función de probabilidad o de uantía: f ( x ) P ( X x ) k x N n N k n x si x : 0, 1, 2,..., n Función de Distribución: F ( x ) P(X x ) x f ( x ) x k 0 k 0 k x N k n x N n Valor Esperado: Varianza: E ( X ) k n N aracterísticas: V( X ) N n npq N 1 a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados: éxito y fracaso. b) La probabilidad de éxito no permanece constante de un ensayo a otro. c) ada ensayo o repetición del experimento se consideran dependientes, esto se debe a que el experimento se realiza sin reposición. d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante. Aplicaciones: La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial. Por ejemplo, en un procedimiento de control de calidad en una empresa farmacéutica, durante el cual se extraen muestras de las cápsulas fabricadas y se someten a análisis para determinar su composición. Durante las pruebas, las cápsulas son destruidas y no pueden ser devueltas al lote del que provienen. En esta situación, la variable que cuenta el número de cápsulas que no cumplen los criterios de calidad establecidos sigue una distribución hipergeométrica. Gladys Enríquez Mantilla 217

12 Uso de Tabla: P ( X x ) F( x ) Lectura directa. P ( X x ) f ( x ) Lectura directa. Ejemplos: 1.- N 10 n 5 k 4 P ( X 2 ) f ( 2 ) N 10 n 6 k 5 P ( X 4 ) F ( 4 ) Gladys Enríquez Mantilla 218

13 Ejemplos: 1.- Se embarcan abanicos en lotes de diez; antes de aceptar un lote, un inspector elige tres de esos abanicos y los inspecciona, si ninguno de los abanicos probados está defectuoso, el lote se acepta; si uno o más presentan defectos, revisan todo el lote. Suponga que hay dos abanicos defectuosos. uál es la probabilidad de que se necesite inspeccionar todo el lote? N 10 n 3 k 2 P( X 1) 1 P ( X 0 ) Una caja con 24 calculadoras contiene cuatro que están defectuosas; si se eligen cuatro al azar de esa caja, cuál es la probabilidad de que: a) tres estén defectuosas. N 24 n 4 k 4 P( X 3) b) a lo mucho una resulte defectuosa. P( X 1) P ( X 0 ) c) las cuatro estén defectuosas P( X 1) P( X 4 ) Se tiene un lote industrial de 100 unidades, de las cuales 25 son defectuosas. uál es la probabilidad de extraer 4 unidades defectuosas en una muestra de 10 si la extracción es sin reposición? N 100 n 10 k 25 P( X 4 ) Se sabe que el 7% de los Ds en un lote de 125 no cumplen ciertas especificaciones de calidad. Tomada una muestra al azar de 10 unidades sin reemplazo, interesa conocer la probabilidad de que no más de dos sean defectuosos. N 125 n 10 k 9 P ( X 2) P ( X 0 ) + P( X 1) + P( X 2) Gladys Enríquez Mantilla 219

14 Si N 100 n 10 k 25, calcular las siguientes probabilidades: a) P ( X 6) alc Distribuciones de probabilidad Hipergeométrica lic en Aceptar P ( X 6) b) P ( X < 5 ) Gráfica Gráfica de distribución de probabilidad lic en Ver probabilidad lic en Aceptar. lic en Área sombreada. Gladys Enríquez Mantilla 220

15 Gráfica de distribución Hipergeométrico; N100; M25; n10 0,30 0,933 0,25 Probabilidad 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 X 4 7 lic en Aceptar. P ( X < 5 ) P ( X 4) c) P( X 3 ) Gráfica de distribución Hipergeométrico; N100; M25; n10 0,30 0,25 Probabilidad 0,20 0,15 0,10 0,05 0,478 lic en Aceptar. 0,00 0 P( X 3 ) X d) P (1 < X < 6) Gráfica de distribución Hipergeométrico; N100; M25; n10 0,30 0,25 Probabilidad 0,20 0,15 0,10 0,756 0,05 lic en Aceptar. 0, X P (1 < X < 6) P(2 X 5 ) Gladys Enríquez Mantilla 221

16 EJERIIOS PROPUESTOS Binomial Poisson Hipergeométrica 1.- El 30% de las familias de un barrio de cierta ciudad son consideradas posibles clientes para comprar cierto producto. Se toma una muestra de ocho familias. uál es la probabilidad que en la muestra tres o más no sean clientes? Se sabe que diez es el número promedio de camiones-tanque de aceite que llegan por día a cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender cuando mucho a 15 camiones-tanque en un día. uál es la probabilidad de que en un determinado día se tengan que regresar los camiones-tanque? En promedio, el 10% de las varillas de madera usadas en cierto producto se encuentran demasiado nudosas para ser usadas. uál es la probabilidad de que en un paquete de 15 varillas no más de cuatro estén demasiado nudosas? Se sabe que la media de defectos por unidad de alfombras de una cierta marca es dos. uál es la probabilidad de que cualquier unidad de alfombra contenga más de dos defectos? Si una central telefónica recibe en promedio, en un día congestionado, 180 llamadas por hora y puede hacer un máximo de 6 conexiones por minuto. uál es la probabilidad que la central quede saturada en un periodo de un minuto? laudia, que no se ha preparado absolutamente nada para un examen, ve que éste contiene 20 preguntas de Verdadero y Falso. Decide lanzar al aire una moneda para responder. Anota "Verdadero" si la moneda cae cara y "Falso" si cae sello. Hallar la probabilidad que: a) pase el examen si para hacerlo debe contestar correctamente el 70% de las preguntas b) conteste por lo menos la mitad de las preguntas correctamente Un inspector de control de calidad examina una muestra aleatoria de cinco baterías de cada caja con 24 piezas que sale de la línea de ensamble; si, de hecho, una caja contiene cuatro baterías defectuosas, encontrar la probabilidad de que en la muestra: a) ninguna esté defectuosa b) hayan dos baterías en mal estado c) haya al menos una pieza mala En promedio, doce personas por hora consultan a un especialista en decoración en un almacén de telas. uál es la probabilidad de que en un periodo de diez minutos, se acerquen al especialista: a) Por lo menos dos b) No más de dos c) Tres o cinco. d) Sólo cuatro. e) Por lo menos tres y como máximo siete. 9.- Los empleados de cierta oficina llegan al reloj marcador a una tasa media de 1,5 por minuto. Hallar la probabilidad que: a) A lo más 4 lleguen en un minuto cualquiera b) Al menos 3 lleguen durante un intervalo de dos minutos c) A lo más 15 lleguen durante un intervalo de seis minutos d) Exactamente tres lleguen en un intervalo de 6 minutos Gladys Enríquez Mantilla 222

17 10.- Un estudio realizado en cierta universidad muestra que el 60% de los graduados obtiene empleo en su área de elección después de un año de su graduación. Hallar la probabilidad de que, después de un año de su graduación, entre 14 graduados de esa universidad, seleccionados al azar, encontrarán trabajo relacionado con su profesión: a) cuando menos seis b) cuando mucho tres c) de cinco a ocho Una determinada empresa quiere aumentar su plantilla de vendedores en 20 personas, para lo que inserta un anuncio en prensa y se presentan 40 personas al proceso de selección. Determinar la probabilidad de que, después de realizar todas las pruebas psicotécnicas de selección y haber seleccionado, por diferentes mecanismos, a las 20 personas solicitadas, entre ellas se encuentren las 10 mejores de las 40 personas que se presentaron Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro. Determinar la probabilidad de encontrar: a) dos imperfecciones en un milímetro de alambre b) diez imperfecciones en 5 milímetros de alambre c) al menos una imperfección en 2 milímetros de alambre Una compañía recibe un pedido de veinte artículos. Dado que la inspección de cada artículo es cara, se sigue la política de analizar una muestra aleatoria de seis artículos de cada envío, aceptando la remesa si no hay más de un artículo defectuoso en la muestra. uál es la probabilidad de que sea aceptado un pedido con cinco artículos defectuosos? Se sabe que una emisora transmite un promedio de 8 avisos comerciales por hora para todas las horas del día. Un oyente sintoniza dicha emisora; cuál es la probabilidad que escuche: a) uando más tres avisos en media hora b) Exactamente diez avisos en hora y media c) Al menos tres y como máximo quince avisos en una hora d) Más de cinco pero menos de diecisiete avisos en dos horas e) No más de nueve avisos en cuarenta minutos Un proceso de producción opera con una salida disconforme de 2%. ada hora se toma una muestra de veinte unidades del producto y se cuenta el número de unidades disconformes. Si se encuentra una o más disconformes, el proceso se detiene y el técnico de control de calidad debe buscar la causa de la producción disconforme. alcular la probabilidad de detener el proceso El número medio de automóviles que llegan a una estación de suministro de gasolina es de 240 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de ocho automóviles por minuto, determine la probabilidad de que, en un minuto dado, lleguen a la estación más automóviles de los que puede atender Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a) uál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos? b) uál es la probabilidad de que una caja que contiene sólo un artículo defectuoso se regresa para verificación? Gladys Enríquez Mantilla 223

18 18.- El número de infracciones expedidas por el lector de un parquímetro, por violaciones de estacionamiento, puede moldearse mediante un proceso con una tasa de cinco infracciones por hora. Hallar la probabilidad que el número de infracciones que se expidan sean: a) exactamente cinco durante una hora particular. b) por lo menos cinco en un periodo de 45 minutos. c) por lo menos ocho durante un periodo de hora y media uando se prueban tarjetas de circuito empleadas en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 10%. Si se seleccionan en forma aleatoria diez tarjetas de circuito, hallar la probabilidad que: a) la mayoría estén en buenas condiciones b) Al menos tres estén defectuosas c) Más de cuatro y como máximo ocho estén bien d) Ninguna esté defectuosa e) no más de dos estén defectuosas En almacén se encuentran 25 centrales telefónicas que han sido retiradas de igual número de locales de diferentes ciudades del país. El administrador del almacén conoce que cinco centrales se encuentran fuera de servicio y requieren de cierta inversión para volver a ponerlas en funcionamiento. El administrador desea vender todas las centrales aplicando la regla donde están y como están. Suponga que usted es un comprador y decide aplicar la siguiente regla de compra: si en una muestra aleatoria de tamaño 4 encuentra al menos una central malograda, entonces decide no comprar el lote, calcular la probabilidad que: a) no compre el lote b) encuentre dos centrales malogradas en la muestra de cuatro Un examen consta de diez preguntas a las que hay que contestar Sí o No. Suponiendo que las personas que se les aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, contestan al azar. Hallar la probabilidad de obtener: a) cinco aciertos b) algún acierto c) al menos cinco aciertos d) más de dos y como máximo seis aciertos Supóngase que se tienen 50 representantes de cierta ciudad, a una convención política nacional, de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente cinco representantes, cuál es la probabilidad de que, entre estos cinco, por lo menos dos apoyen al candidato A? 23.- En la transmisión de un mensaje, la probabilidad de que ocurra un error en un signo es 0.1. alcular la probabilidad de que en un mensaje con ocho signos: a) Se verifique un error b) Se presente no menos de un error c) El número de errores sea más de uno y como máximo siete d) No hayan errores El examen de admisión en cierta universidad está diseñado de forma que el 35% de los postulantes logren aprobar. Hallar la probabilidad que entre 15 alumnos que postularon a dicha universidad no aprueben: a) al menos doce b) a lo más seis c) entre siete y nueve inclusive d) más de seis y como máximo diez Gladys Enríquez Mantilla 224

19 25.- Un fabricante compra los motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar ocho, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene dos motores con serios defectos, cuál es la probabilidad de que sea aceptado? Un ingeniero en seguridad automotriz afirma que uno de cada diez accidentes automovilísticos son causados por fatiga del conductor. a) uál es la probabilidad de que al menos tres de cinco accidentes automovilísticos sean causados por fatiga del conductor? b) uál es la probabilidad de que menos de tres o más de siete de un total de doce accidentes no se deban a la fatiga del conductor? 27.- El fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de computadoras espera que 2% de las unidades funcionen mal durante el periodo de garantía. En una muestra de diez unidades de disco; hallar la probabilidad de que: a) Exactamente una funciones mal durante su periodo de prueba b) Al menos dos funcionen mal durante la prueba En una red de ordenadores, el acceso de los usuarios puede modelarse según un proceso de Poisson de media 25 accesos a la hora. Hallar la probabilidad de que: a) no hayan accesos en seis minutos. b) hayan cinco accesos en media hora. c) Se presenten ocho accesos en veinte minutos En el 15% de los hogares de una ciudad no hay nadie por la noche entre las 7:00 y la media noche. Una persona que está haciendo una encuesta telefónica selecciona al azar diez hogares de esa zona y los encuesta entre las 7:00 y la media noche. uál es la probabilidad de que la persona que está siendo encuestada no obtenga respuesta en: a) Todas las llamadas. b) Exactamente cinco llamadas. c) Tres llamadas o menos. d) obtenga una respuesta en cada una de las diez llamadas El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos sabe que el 12% de su producción tiene algún tipo de defecto. Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15 elementos. alcular la probabilidad de que una caja contenga: a) Dos pañuelos defectuosos b) No más de nueve no defectuosos c) Al menos tres pañuelos defectuosos d) omo mínimo ocho pero menos de catorce no defectuosos e) Más de uno y como máximo cinco pañuelos defectuosos f) En una caja, cuántos pañuelos defectuosos se espera encontrar Se ha descubierto que el 13,5% de los ordenadores vendidos por una empresa multinacional no contiene ningún sector defectuoso en su disco duro. Si suponemos que el número de sectores defectuosos por disco duro es una variable aleatoria de Poisson, determine el porcentaje de ordenadores vendidos que contienen un sector defectuoso en su disco duro Suponga que el 10% de las piezas que produce una máquina sean defectuosas. Si se extrae una muestra de 20 piezas seleccionadas en forma aleatoria. alcular la probabilidad de que en la muestra en número de piezas defectuosas sea: a) sólo dos b) omo máximo tres c) Entre dos y cinco d) omo mínimo tres Gladys Enríquez Mantilla 225

20 33.- En un conocido centro comercial de la capital, diez comerciantes venden equipos de sonido legalmente ingresados al país, mientras que veinte comerciantes venden equipos de sonido de contrabando. Supóngase que en un operativo de represión contra el contrabando se decide elegir al azar a ocho comerciantes que venden equipos de sonido, determine la probabilidad de que: a) todos vendan equipos de sonido de contrabando b) todos vendan equipos de sonido legalmente ingresados al país c) la mayoría vendan equipos de contrabando d) tres o cinco vendan equipos legales Un libro contiene 100 erratas distribuidas aleatoriamente en sus 100 páginas. Suponiendo una distribución de Poisson, determinar la probabilidad de que una página observada en forma aleatoria contenga por lo menos dos erratas Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente potencial elegido al azar realice una compra es de Si un vendedor visita a seis clientes potenciales, calcular la probabilidad de que: a) Ninguno de los clientes haga una compra b) Exactamente cuatro clientes realicen una compra c) A lo más tres prospectos realicen una compra d) Al menos dos hagan una compra e) Más de uno pero menos de cuatro realicen una compra Se registra la llegada de mensajes por correo electrónico durante el periodo de 9 horas a 18 horas. Si se tiene en un ordenador un programa que rastrea cuántos mensajes han llegado y además en promedio se reciben 5 mensajes por hora. Hallar la probabilidad de recibir: a) Siete o menos mensajes en una hora b) Sólo dos mensajes en media hora c) Menos de seis mensajes en quince minutos d) Más de tres pero menos de nueve en dos horas e) No menos de cinco mensajes en una hora f) omo mínimo dos y como máximo siete mensajes en hora y media Según el Instituto Nacional de, el 40% de los hogares tiene conexión a Internet. Si se eligen diez hogares al azar, hallar la probabilidad de que el número de hogares con conexión a Internet sea: a) omo mínimo cinco pero menos de nueve b) Más de tres y como máximo seis c) Al menos seis d) más de dos e) sólo tres Un auditor de recaudación de impuestos selecciona al azar cuatro solicitudes de devolución de impuestos de entre quince presentadas, si cinco solicitudes contienen deducciones ilegales, cuál es la probabilidad de que el auditor examine: a) exactamente una solicitud legal b) al menos dos solicitudes ilegales c) no más de cuatro solicitudes no válidas Un alumno de la facultad de Ingeniería de Sistemas tiene la certeza de aprobar una asignatura cualquiera con probabilidad 0.8. Si lleva seis asignaturas, cuál es la probabilidad que: a) salga mal en todas las asignaturas b) apruebe menos de dos cursos o más de cuatro c) apruebe exactamente dos cursos d) apruebe la mayoría de sus asignaturas e) repruebe dos o tres asignaturas f) apruebe al menos dos pero menos de cinco asignaturas Gladys Enríquez Mantilla 226

21 40.- Un laboratorio descubre que en una población hay un 5% de probabilidad de padecer cierta enfermedad. Si se seleccionan aleatoriamente ocho miembros de esta población; hallar la probabilidad de que el número de miembros que padecen esta enfermedad sea: a) No más de dos. b) Ninguno Tres mujeres entablaron una demanda contra una empresa de servicios locales, por discriminación de sexos. De las nueve personas que eran elegibles para un ascenso, cuatro eran mujeres. Tres de las nueve personas recibieron en realidad el ascenso; pero sólo una de ellas era mujer. Las otras tres mujeres elegibles demandaron. Una consideración importante en el caso, unida con la probabilidad de que de las tres personas que recibieron ascenso sólo una mujer fuera seleccionada por casualidad. Es decir, si el género no era un factor, cuál es la probabilidad de que no más que uno de los tres ascensos fuera asignado a una mujer? En determinada planta manufacturera han ocurrido accidentes a razón de uno cada dos meses. Suponiendo que ocurren en forma independiente. a) uál es el número esperado de accidentes al año? 6 b) uál es la desviación estándar del número de accidentes al año? 2.45 c) uál es la probabilidad de que no haya accidentes en determinado mes? Se están considerando las dos reglas siguientes para decidir si aceptar un gran cargamento: I : Se analiza una muestra aleatoria de diez piezas, y sólo se acepta el cargamento si no hay ninguna defectuosa. II : Se analiza una muestra aleatoria de veinte piezas, y sólo se acepta el envío si no hay más de una defectuosa. uál de estas reglas tiene una probabilidad menor de aceptar un cargamento que contenga un 20% de piezas defectuosas? La 2da Todos los días se seleccionan de manera aleatoria doce unidades de un proceso de manufactura, con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. on base a informaciones anteriores se sabe que la probabilidad de tener una pieza defectuosa es La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de doce unidades tenga dos o más defectuosas. uál es la probabilidad de que: a) En cualquier día la producción se detenga c) El número de defectuosas sea superior a dos pero como máximo nueve d) Haya no menos de once unidades no defectuosas Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería de la ciudad vecina. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo, hallar la probabilidad de que el número de piezas del proveedor local sea: a) todas b) Dos o más c) Al menos una El conmutador de una oficina recibe un promedio de 20 llamadas cada dos minutos; hallar la probabilidad que lleguen: a) Exactamente cuatro llamadas en un periodo de 30 segundos b) omo máximo dos llamadas en un periodo de 15 segundos c) Más de cinco pero menos de nueve llamadas en 1 minuto d) Al menos seis llamadas en 25 segundos Gladys Enríquez Mantilla 227

22 47.- Una compañía recibe un pedido muy grande. Se analiza una muestra aleatoria de dieciséis artículos, y se acepta el pedido si menos de dos resultan defectuosos. uál es la probabilidad de aceptar un envío que contenga: a) Un 5% de artículos defectuosos b) Un 15% de artículos defectuosos c) Un 25% de artículos defectuosos El promedio de llamadas telefónicas por hora es 27. Hallar la probabilidad de que el número de llamadas sea: a) No más de doce en media hora b) Más de tres y como máximo catorce en quince minutos c) Al menos siete en doce minutos d) Veinticinco en cuarenta minutos La oficina de personal en una fábrica, indica que el 30% de los empleados de la línea de montaje se retiran durante los primeros tres años de haber sido contratados. Se acaban de contratar 12 empleados nuevos. uál es la probabilidad que: a) Por lo menos nueve sigan trabajando después del tercer año c) omo mínimo tres se retiren antes del tercer año Suponga que en un almacén hay veinte llantas de las que tres están defectuosas. Si se toman aleatoriamente cinco llantas de ese almacén, cuál es la probabilidad de que: a) al menos dos de ellas estén defectuosas b) Se elija una llanta en mal estado c) omo máximo una esté en mal estado Se sabe que la impresora principal de un centro de cómputo opera adecuadamente 90% del tiempo. Si se tiene una muestra aleatoria de diez inspecciones; a) uál es la probabilidad de que la impresora principal esté operando adecuadamente, Exactamente nueve veces Al menos siete veces Más de ocho veces b) uántas veces puede esperarse que la impresora principal opere adecuadamente? El número de mensajes que se envían por computadora es una variable aleatoria con una media de cuatro mensajes por hora. Hallar la probabilidad de que se reciban: a) Tres mensajes en sesenta minutos b) Al menos siete mensajes en hora y media c) Más de tres y como máximo ocho mensajes en media hora d) No más de seis mensajes en dos horas e) Más de dos pero menos de diez mensajes en hora y media f) Sólo diez mensajes en tres horas En una fiesta hay veinte personas, 14 casadas y 6 solteras. Se eligen tres personas al azar, cuál es la probabilidad de que las tres sean solteras? Un examen de opción múltiple está compuesto por 8 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes que realiza el examen no ha estudiado y por lo tanto responde al azar; hallar la probabilidad que: a) conteste correctamente no más de cuatro preguntas c) acierte la mayoría d) acierte más de dos y como máximo Gladys Enríquez Mantilla 228

23 55.- Una empresa, dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo que ofrece a sus clientes dos formas de pago: al contado o a crédito, sabe que el 20% de las unidades adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de pago al contado. Si en un periodo de tiempo determinado se han adquirido diez unidades, determinar la probabilidad que: a) Menos de dos unidades hayan sido bajo la forma de al contado b) No más de dos unidades hayan sido bajo la forma a crédito c) Más de uno y menos de cinco hayan sido bajo la forma al contado d) Sólo tres hayan sido bajo la forma de al contado e) uántas unidades se espera hayan sido bajo la forma a crédito? En una tienda se acaba de recibir un embarque de 10 televisores. Poco después de haberse realizado la entrega, el fabricante llamó para informar que por error se habían enviado tres televisores defectuosos. El propietario de la empresa, decidió probar dos televisores de los 10 recibidos. uál es la probabilidad de que ninguno de los dos tenga defectos? El número de defectos por yarda cuadrada de un cierto tipo de tela manufacturada por una fábrica es medido como 0,1,2,... defectos. En promedio, el número de defectos es 0.5. Hallar la probabilidad de que una yarda cuadrada tenga: a) Dos defectos b) Dos defectos como máximo Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada 10 resulta defectuoso. uál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de cuatro artículos contenga: a) Ninguno defectuoso b) Exactamente dos defectuosos c) No más de dos defectuosos Un concesionario de cierta marca de frigoríficos ecológicos dispone de 8 unidades para la venta. De ellos 4 son del modelo A y los restantes del modelo B. Si se venden 3 frigoríficos de entre los disponibles, obtener la probabilidad de que a lo sumo dos sean del modelo A Un estudio indica que el número de huelgas anuales en una fábrica con 2000 empleados se puede representar por una distribución de Poisson con media 0.4. Hallar la probabilidad que: a) no haya huelga b) hayan sólo dos huelgas c) haya más de una huelga Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) uál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos? b) uál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? El número promedio de interrupciones de trabajo por hora en un proceso de producción es de 0.8. Hallar la probabilidad de que en cualquier hora, el número de interrupciones sea: a) Exactamente dos b) A lo más dos c) Tres o cinco. d) Entre dos y cinco inclusive. Gladys Enríquez Mantilla 229

24 63.- Existe un 80% de probabilidad de que un tipo determinado de componentes se comporte adecuadamente bajo las condiciones de alta temperatura. Si el dispositivo en cuestión tiene cuatro de tales componentes, determinar la probabilidad en cada uno de los siguientes eventos: a) Todos los componentes se comportan adecuadamente y por lo tanto el dispositivo es operacional b) El dispositivo no es operacional porque falla uno de los cuatro componentes c) El dispositivo no es operacional porque falla al menos uno de los componentes Una compañía recibe un gran cargamento de artículos y decide aceptar el envío si en una muestra aleatoria de 20 artículos no hay más de un defectuoso. Si se sabe que la proporción de artículos defectuosos en el cargamento es 0,1. uál es la probabilidad de que la compañía acepte el envío? iertos autos llegan a una garita de peaje aleatoriamente a una tasa de 300 autos por hora. alcular la probabilidad que: a) Un auto llegue durante un periodo de un minuto b) Por lo menos dos autos lleguen durante un periodo de un minuto c) Tres o cinco autos lleguen en un minuto. d) Más de dos pero menos de siete autos lleguen en un minuto Entre 120 solicitantes para un trabajo están capacitados actualmente 80. Si 5 de estos solicitantes son escogidos al azar para una entrevista. uál es la probabilidad de que sólo 2 de los 5 están actualmente capacitados para el trabajo? Defectos de cierta clase de tejidos de lana ocurren al azar con un promedio de 1 por 100 pies cuadrados. Hallar la probabilidad de que una pieza que mida 50 por 10 pies, a) No tenga defectos b) Presente un defecto como máximo c) Tenga dos o tres defectos. d) Presente exactamente cuatro defectos Un profesor de cómputo afirma que en la primera lección de "Introducción a la computación como procesadores de texto", para secretarias sin conocimientos previos en la materia, se da un 80% de asimilación (teórico - práctica). alcule las probabilidades de que si este curso se da a 7 secretarias: a) no menos de tres asimilen el curso b) todas asimilen el curso c) entre 2 y 6 (inclusive) asimilen el curso d) menos de tres o más de cinco no asimilen el curso. e) dos o seis asimilen el curso De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, hallar la probabilidad de que, a) los cuatro exploten b) al menos dos no exploten c) la mayoría exploten Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6.8 clientes/hora. Hallar la probabilidad que: a) En la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes b) En el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente c) En los primeros diez minutos llegue sólo un cliente. Gladys Enríquez Mantilla 230

25 71.- Un estudio reciente reveló que el 60% de los conductores de la ciudad A, se coloca el cinturón de seguridad al manejar. Se seleccionó una muestra de 10 automovilistas, cuál es la probabilidad de que: a) Exactamente siete llevarán fijo el cinturón b) Siete o menos de los conductores lo lleven puesto c) En promedio, cuántos conductores se espera que estén usando el cinturón de seguridad? Una distribuidora de bebidas tiene 15 camiones de reparto. Supóngase que 6 de los mismos tienen problemas con los frenos, si se seleccionan al azar cinco camiones para probarlos, cuál es la probabilidad de que dos de los vehículos examinados tengan problemas con los frenos? Un telar experimenta una rotura aproximadamente cada diez horas. Se está produciendo un estilo particular de tela que requiere 25 horas de trabajo. Si con tres o más roturas el producto no es satisfactorio, encontrar la probabilidad de que la tela se termine con calidad aceptable En la recepción de un hotel hay veinte clientes de los cuales 15 están satisfechos por la atención recibida. Se elige una muestra sin reposición de cuatro clientes y se les pregunta su opinión sobre el servicio. alcular la probabilidad de que el número de clientes que manifiestan estar insatisfechos sea: a) sólo tres b) Por lo menos tres c) Por lo menos uno Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a) uál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos? b) uál es la probabilidad de que una caja que contiene sólo un artículo defectuoso se regresa para verificación? 76.- El promedio de accidentes en una planta industrial es de 2 por semana. Hallar la probabilidad que en una semana determinada: a) Ocurran exactamente dos accidentes b) No ocurra accidente alguno c) Ocurran tres o cinco accidentes. d) Ocurran al menos dos accidentes Una compañía se dedica a la instalación de nuevos sistemas de calefacción central. Se ha comprobado que en el 15% de las instalaciones es necesario volver para revisar algunas modificaciones. En una semana determinada se realizaron seis instalaciones. Asumir independencia en los resultados de esas instalaciones. a) uál es la probabilidad de que sea necesario volver en todos los casos? b) uál es la probabilidad de que no sea necesario volver en ninguno de los casos? c) uál es la probabilidad de que sea necesario volver en más de uno? En una ciudad, cada tres meses ocurren en promedio 12 muertos por accidentes de tránsito, cuál es la probabilidad de que haya como mínimo 4 muertos por accidentes de tránsito en cualquier mes? Gladys Enríquez Mantilla 231

26 79.- Un equipo de fútbol tiene 4/5 de probabilidad de ganar cuando juega. Si juega diez partidos y además se sabe que no se aceptará un empate, hallar la probabilidad que: a) Gane por lo menos un partido b) Gane más de la mitad de los partidos c) Gane al menos cinco y como máximo siete partidos d) Pierda no más de tres partidos e) uántos partidos se espera que pierda? Si se eligen al azar seis declaraciones de entre 20 pagos de impuestos de los cuales ocho contienen deducciones fraudulentas. a) Determinar la probabilidad de que la Sunat detectara tres pagos de impuestos con deducciones fraudulentas b) uál es la probabilidad de que detectara al menos tres pagos de impuestos con deducciones fraudulentas? El número medio de automóviles que llega a una gasolinera es de 210 por hora. Si dicha gasolinera sólo puede atender a un máximo de diez automóviles por minuto, a) Determinar la probabilidad de que en un minuto dado lleguen a la gasolinera más automóviles de los que puede atender b) Hallar la probabilidad de que entre las 10:14 y las 10:15 lleguen diez automóviles, y al minuto siguiente ninguno Se acaba de recibir un embarque de 10 TV. Poco después de recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido se habían enviado tres aparatos defectuosos. Se decidió probar dos de éstos, cuál es la probabilidad que ninguno de los dos esté defectuoso? Suponiendo que la probabilidad de que un niño que nace sea varón es 0,51, hallar la probabilidad de que en una familia de seis hijos, tenga: a) Por lo menos una niña b) Por lo menos un niño c) Por lo menos dos niños y una niña Suponga que durante una semana un pequeño taller de torneados en madera fabricó cincuenta juegos didácticos, cuarenta funcionaron sin problema y diez tuvieron al menos un defecto. Se selecciona una muestra al azar de cinco. Hallar la probabilidad de que: a) cuatro de los cinco funcionen perfectamente b) uno de los cinco funcionen perfectamente Un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día, suponiendo que el número de cheques falsos sigue una distribución de Poisson, hallar la probabilidad de que se reciban: a) cuatro cheques falsos en un día b) más de treinta cheques falsos en una semana (de lunes a sábado) c) Al menos veinte cheques falsos en tres días d) Más de ocho o menos de tres cheques falsos en un día En promedio, cierto estudiante puede resolver la mitad de los problemas que se le presentan; para aprobar es necesario solucionar 7 de 10 problemas de un examen. uál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen? El número de demandas presentadas a una compañía de seguros, en promedio es de tres por día, cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera: a) No se presente ninguna demanda b) Por lo menos se presenten dos demandas Gladys Enríquez Mantilla 232

27 88.- El Sr. García es el responsable de la compra de cajas de vino para un restaurante. Periódicamente elige una caja de prueba (12 botellas por caja) para determinar si el proceso de sellado es adecuado. Para esta prueba, selecciona al azar 4 botellas de la caja para catar el vino. Si una caja contiene dos botellas de vino en mal estado, calcule la probabilidad de que precisamente una de ellas aparezca en la muestra del Sr. García Sabemos, por la experiencia pasada, que el fax de un departamento universitario tiene una probabilidad de fallo en la transmisión de 0,1. Si realizamos una inspección durante un mes a 10 transmisiones seleccionadas al azar, a) cuál es la probabilidad de que funcione correctamente como máximo 9 veces b) En cuántas ocasiones se espera que funcione correctamente el fax en las 10 inspecciones realizadas? La computadora de marca AB se descompone a razón de 0,05 veces por hora de operación, siendo necesario darle servicio especializado de reparación. Suponiendo que las descomposturas ocurren según la distribución de Poisson, a) uál es la probabilidad de que no ocurran descomposturas en un periodo de trabajo de ocho horas? b) uál es la probabilidad de que no ocurran en una semana de 40 horas? El número de fallas de un instrumento de prueba debido a las partículas contaminantes de un producto, es una variable aleatoria Poisson con media 0,02 fallas por hora. uál es la probabilidad de que: a) El instrumento no falle en una jornada de ocho horas b) Se presente al menos una falla en un periodo de 24 horas Un examen en la administración pública está diseñado en forma tal que el 70% de las personas con un I de 90 lo aprueben. Hallar la probabilidad que entre 15 personas con un I de 90 que se presenten al examen: a) aprueben al menos doce b) a lo más seis no aprueben c) exactamente diez aprueben d) más de siete y menos de diez reprueben e) más de seis y como máximo doce aprueben f) cuántas personas se espera que aprueben el examen Sea X el número de automóviles de un año y modelo particular que en algún momento en el futuro sufrirán una falla grave en el mecanismo de dirección, que ocasionará pérdida completa de control a alta velocidad. Suponga que X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ10. Hallar la probabilidad de que sufran dicha falla: a) a lo sumo diez automóviles b) Entre diez y quince automóviles inclusive c) Al menos cuatro automóviles. d) No más de cinco automóviles Un político cree que el 25% de los economistas que ocupan altos cargos apoyará una propuesta que quiere presentar. Supongamos que esta creencia es correcta y que se eligen doce economistas que ocupan altos cargos aleatoriamente. Hallar la probabilidad de que: a) al menos tres apoyen la propuesta b) la mayoría de ellos no apoyen la propuesta c) menos de tres o más de ocho apoyen la propuesta d) omo mínimo cuatro y menos de diez no apoyen la propuesta e) Sólo la mitad apoyen la propuesta Gladys Enríquez Mantilla 233

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