Líneas de influencia. J. T. Celigüeta


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1 Líneas de influencia J. T. Celigüeta

2 Línea de influencia - Definición La función (gráfica o analítica) que define la variación de un esfuerzo para las distintas posiciones de una carga móvil. Cargas móviles: puentes, vigas carril, etc. Movimiento cuasi estático: sin fuerzas de inercia Objetivo: hallar la posición pésima de las fuerzas y el valor máximo del esfuerzo Ejemplo: L(R A ) A z F L z R = F L A

3 Línea de influencia - Suposiciones Material elástico lineal, pequeñas deformaciones Movimiento cuasi-estático: sin fuerzas de inercia. Una sola fuerza móvil, de módulo unidad, con dirección y sentido constante, que se mueve paralelamente a sí misma. (*) Trayectoria recta (*) (*) no es necesario, se supone así para facilitar el cálculo 2

4 Línea de influencia Métodos de cálculo Vigas isostáticas Empleo de las ecuaciones de la estática Principio de los trabajos virtuales (no) Celosías isostáticas Ecuaciones de la estática Estructuras hiperestáticas Principio de Müller-reslau 3

5 L de vigas isostáticas Las ecuaciones de la estática permiten hallar cualquier esfuerzo 2 m z A 0 m R A = 2 0 z R z 2 = RA = 0 4

6 L de vigas isostáticas Cortante en C Carga a la izda de C: aíslo tramo dcha. z 2 QC R = 0< z < 7 0 Carga a la dcha de C: aíslo tramo izda. z 2 QC RA = 7 < z < 2 0 5

7 L de vigas isostáticas Flector en C Carga a la izquierda de C: aíslo tramo de la derecha. z 2 MC R5 = 0< z < 7 2 Carga a la derecha de C: aíslo tramo de la izquierda. 2 z MC RA5 = 7 < z < 2 2 6

8 L en celosías isostáticas Se determinan para la carga aplicada sólo en los nudos Cuando la carga está entre dos nudos, la L es una recta C D E F A H G L z J K L M 6 L R A Reacciones R G 5/6 4/6 3/6 /6 2/6 A H J K L M G A 5/6 3/6 4/6 /6 2/6 H J K L M G 7

9 L en celosías isostáticas. arras A y AH R A 5/6 4/6 3/6 /6 2/6 A H J K L M G Equilibrio vertical de A N A A H J K L M G N A = 2R A 5 2/6 Es nulo cuando la carga está en A Equilibrio horizontal de A N AH N = N / 2 = R AH A A 5 2/6 Es nulo cuando la carga está en A 8 A H J K L M G

10 L en celosías isostáticas. Montante H N H Solo trabaja cuando la carga pasa por H A H J K L M G 9

11 L en celosías isostáticas. Diagonal CK C D E F A H J K L M G N CK 3 2/6 2R A A H J K L M G - 2R G Carga entre A y J: aíslo parte derecha equilibrio vertical 2 2/6 Carga entre K y G: aíslo parte izquierda equilibrio vertical N CK = 2R N = 2R G CK A 0

12 L en celosías isostáticas. Montante CJ C D E F A H J K L M G N CJ 2/6 K L M G A H J Carga entre A y J: aíslo parte derecha N CJ 3/6 Carga entre K y G: aíslo parte izquierda = RG CJ A N = R

13 L en celosías isostáticas. Cordón inferior JK C D E F A H J K L M G N JK 8/6 Carga entre A y J: aíslo parte derecha Momento respecto de C N JK A H J K L M G Carga entre K y G: aíslo parte izquierda momento respecto de C = 4R N = 2R G JK A 2

14 L para trenes de cargas Conjunto de N cargas puntuales, separadas unas distancias fijas entre sí d i, y que se mueven en grupo. Se halla la L para una carga unitaria L(z) El tren de cargas se sitúa en la viga mediante su primera carga (z) Las restantes cargas están situadas a z i =z- d i=,n i z 3 z 2 d 3 z 3 d 2 2 Ez () = PLz ( ) = PLz ( d) i i i i i=, N i=, N Se suma el efecto de cada carga, considerando su posición respecto a la primera fuerza. Ubicar las fuerzas en la L de tal manera que se maximice el efecto 3

15 L para cargas distribuidas Carga distribuida de amplitud q(x) y longitud d. Se halla la L para una carga unitaria L(z) La carga se sitúa en la viga mediante su extremo izquierdo Se integra el efecto de la carga distribuida considerando su posición. Ez () = qx () Lz ( + xdx ) 0 d x d Ubicar la carga en la L de tal manera que se maximice la integral 4

16 Ejemplo: 2 cargas móviles R = 5000 R (0) R () R Amax A A A max = = R max = 5000 R (2) R () = 8600 ( + ) R max = 5000 R (0) R () = 400 ( ) 5

17 Ejemplo: 2 cargas móviles QC max = 5000 QC(7) QC(6) = 400 M max = 5000 M (7) M (6) = ( + ) C C C M max = 5000 M (0) M () = 7000 ( ) C C C 6

18 Principio de Müller-reslau (886) L de una reacción R en una estructura hiperestática (h) Carga unitaria móvil (: punto de la trayectoria) z R Método de flexibilidad X=R 7

19 Principio de Müller-reslau Caso (h-) Eliminar R. Sometido a la carga móvil en z Deformación en la dirección de la reacción: Δ Caso (h-) Aplicar una fuerza unidad en la dirección de R Deformación en la dirección de la reacción: Δ Deformación en la dirección de la carga: Δ 8

20 Principio de Müller-reslau Condición de compatibilidad Δ = 0 Δ + R Δ = 0 R Δ = Δ Reciprocidad de deformaciones (Maxwell) Δ =Δ R Δ = Δ 9

21 Principio de Müller-reslau R Δ = Δ La L de R buscada es el cociente (con signo menos) de: La deformación en la dirección de la carga (punto ) en el caso La deformación en la dirección de la reacción en el caso 20

22 Principio de Müller-reslau Sólo hay que resolver el caso (h-) y hallar dos deformaciones. La carga móvil desaparece y se sustituye por un valor unidad del esfuerzo cuya L se busca. El aspecto de la L queda definido por la deformación en la trayectoria (punto l) situada en el numerador (identificar máximos) L es la deformada de una viga sin carga: cúbica nteresante si se dispone de un método que calcule fácilmente deformaciones, sin importar el grado h: método de rigidez. z z R R Δ () z = Δ Cúbica 2

23 Müller-reslau para momentos flectores () Caso (h-) Eliminar M. Sometido a la carga móvil en i d Giros a ambos lados: θ i θ d Caso (h-) Aplicar un momento unidad en la dirección de M i d Giros a ambos lados: θ i θ d M = Deformación en la dirección de la carga: Δ 22

24 Müller-reslau para momentos flectores (2) Condición de compatibilidad θi = θd θ + M θ = θ M θ i i d d M = ( θi + θd ) θ + θ i d Reciprocidad generalizado θ + θ = Δ i d M = θ Δ + i θd Expresión similar a la reacción. Suma de los giros en ambos lados, en la dirección del momento unitario aplicado 23

25 Müller-reslau para cortantes y axiales Q Δ = Δ i +Δ d N Δ = Δ i +Δ d 24

26 Rigidez de un tramo de viga apoyada E L 4 2 θ M = 2 4 θj MJ 25

27 Deformada de una viga sin cargas Deformación lateral v de una viga sin cargas, apoyada en sus extremos, en función de los giros extremos v = ξ ξ + ξ Lθ + ξ ξ Lθ ( 2 ) ( ) J ξ = x L Deformación lateral v de una viga sin cargas, en función de las deformaciones y giros extremos v = L + + L ( 3ξ 2 ξ ) δy ( ξ 2 ξ ξ ) θ (3ξ 2 ξ ) δjy ( ξ ξ ) θj 26

28 Ejemplo. L de la reacción en A z Caso (isostático) M = ( L x) L M = L x = Ev v 2 3 Lx x = 2E 6E 2 3 Lz z Δ = vx ( z) = 2E 6E Δ = vx ( = L) = 3 L 3E R 2 3 Δ 3z z = = + Δ 2L 2L

29 Viga apoyada empotrada. Momento en Caso : M = A M Δ = θ Por rigidez: dos grados de libertad E L 4 2 θ A = θ θ A = L 6E θ = L 3E 28

30 Viga apoyada empotrada. Momento en v = + L + L = x L ( ξ 2 ξ ξ ) θ ( ξ ξ ) θj ( ξ / ) θ θ = A L 6E θ J θ = L 3E v 2 = L 6E ξ 3 ( ξ ) M Δ ( v) v v3e = = = = θ L θ L 3E L M = ξ ξ 2 3 ( ) Mmax = 0.92 L x = L/ L L 29

31 Viga de 2 vanos. Momento en el apoyo A z C Caso : M = L L Dos vigas independientes (isos.) M = x/ L = Ev 0< x < L 3 x Ev = + Ax + 6L vx ( = 0) = 0 = 0 vx ( = L) = 0 A= L/ x Lx v = 0 < x < L 6EL 6E

32 Viga de 2 vanos. Momento en el apoyo 3 Δ = z Lz vx ( z) = 6EL + θ 6E ( ) i = v x = L = L 3E θ d = θ = i L 3E 3 z Lz + 3 Δ 6 6 z z M = = EL E = 0 < z < L L L 2 θi + θd + 4L 4 3E 3E 3

33 Viga de 2 vanos. Momento en el centro del vano Caso P: M P = 32 M P = θ Pi Δ + ( θ ) Pd Situación pésima: carga en el propio punto P

34 Viga de 2 vanos. Momento en el centro del vano Caso P: M P = Ecuación de equilibrio por rigidez E l l l θa l l l l l Δ P Pi l θ = 4 2 θpd simétrica 0 l l θ θ 0 C l L L 4 L l = L/2 Solución numérica 33

35 Viga de 2 vanos. Momento en el centro del vano M P Δ v = = θ + ( θ ) θ θ Pi Pd Pi Pd M P = vp max 0.203L θ θ = Pi Pd 34

36 Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo Caso : M = Atención Cálculo de la deformada Δ y de los giros θ del caso por rigidez Rigidez de una viga E L 4 2 θ M 2 4 = θj MJ 35

37 Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo A C D E i d E L θa θ i M i = θ d Md = = θc θ D θ 0 E 36

38 Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo θ θ i /3 θ d L 3/ 45 = θc E 7/90 θ D /45 θ E /90 Solución del caso : A /6 Δ = v M = Δ θ + i ( θd ) 3 28 L L L θi θd = + = 3E 45E 45E 45E M = v 28L 37 Hay que hallar la deformada v de cada tramo, en función de los giros

39 Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo v = ξ ξ + ξ Lθ + ξ ξ Lθ ξ = x L ( 2 ) ( ) J ( / ) Vano A θ θa = L/6E θj θi = L/3E M v 45E 5L 5L 5L = = ( ξ + 2 ξ ξ ) + ( ξ ξ ) = ( ξ ξ) 0< ξ < 28L ( A) ( A) Vano C θ θ 3 / 45 d = L E θj θc = 7 L/90E M v 45E 3L 9L 45L = = ξ ξ + ξ 0< ξ < 28L ( C ) ( C )

40 Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo Vano CD θ θ 7 /90 C = L E θj θd = L/45E M v 45E L 5L 3L = = ξ + ξ ξ 0< ξ < 28L ( CD) ( CD) 3 2 Vano DE θ θd = L/45E θ2 θ E = L/90E M v 45E 2L L 3L 28L ( DE ) ( DE ) 3 2 = = ξ ξ + ξ 39

41 Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo L 0.38L L L 3L 9L 45L M = ξ ξ + ξ ( C ) 3 2 ( A) 5 L ( 3 M = ξ ξ ) 56 L 5L 3L M = ξ + ξ ξ ( CD) 3 2 2L L 3L M = ξ ξ + ξ ( DE )

42 Vigas continuas. Momento en el 2º apoyo Posición pésima de la carga móvil siempre el mismo punto (0.577L). Aumenta muy poco con el número de vanos Vanos M L L L L 4

43 Vigas continuas. Momento en el centro del vano L(M P ) L M P M P Posición pésima de la carga móvil siempre el propio punto central del vano. Disminuye muy poco con el número de vanos. Es mayor que el momento en el 2º apoyo L Vanos M P L M P L L L L 42

44 Vigas de 2 y 3 vanos M L M L L L L M P M P L P L 0.5 L 0.5 L P M Q 0.75 L Q 0.5 L 43

45 Viga de 4 vanos. Momento en los apoyos M L 0.38L L L M C 0.66 L C L L 44

46 Viga de 4 vanos. Momento en los vanos M P L P M Q 0.73 L Q 45

47 46 Viga de 5 vanos. Momento en los apoyos

48 Viga de 5 vanos. Momento en los vanos M P L P 0.5 L M Q 0.73 L 0.5 L Q M R 0.7 L L R

49 Viga empotrada de 2 vanos. Momento en Caso : M = M Δ = θi + θd Dos vigas independientes iguales Por rigidez: un grado de libertad 4E L { θ } = {} i θ = i L 4E θ = d L 4E 48

50 Viga empotrada de 2 vanos. Momento en M v = + L + L = x L ( ξ 2 ξ ξ ) θ ( ξ ξ ) θj ( ξ / ) ( v) v v2e = = = θ L L i + θd + L 4E 4E Vano A θ = 0 θj θi = L/4E M A v2e L 3 2 = = ( ξ ξ ) 0< ξ < L 2 Vano C θ /4 θ J = 0 θd = L E M C ve 2 L 2 3 = = ( ξ 2ξ + ξ ) 0< ξ < L L 2 49

51 Viga empotrada de 2 vanos. Momento en v2e L = = ξ ξ 0< ξ < L 2 A 3 2 Vano A M ( ) ve 2 L = = ξ 2ξ + ξ 0< ξ < L L 2 C 2 3 Vano C M ( ) 50

52 Viga empotrada de 2 vanos. Momento en A Caso A: M A = M A A Δ = A ( θ ) A Por rigidez: dos grados de libertad E L 4 2 θa = + θ 0 θ A 4L = 4E L θ = 4E 5

53 Viga empotrada de 2 vanos. Momento en A v = + L + L = x L ( ξ 2 ξ ξ ) θ ( ξ ξ ) θj ( ξ / ) M A A Δ ( v) v4e = = = A ( θ ) 4L A 4L 4 E Vano A θ = θ = A 4L 4E θ J = θ = L 4E A L MA = ξ + ξ ξ ( ) L Vano C θ = θ = θ J = 0 4E 52 C L MA = ξ ξ + ξ ( 2 )

54 Viga empotrada de 2 vanos. Momento en A M = 0.684L x = L A A max max 53

55 Viga empotrada de 2 vanos. Momento en P Solución numérica (cespla) Pi P Pd M P = ΔP θ + θ Pi Pd 54

56 Viga empotrada de 2 vanos. Resumen M P 0.40 L 0.5 L P 55

57 Ejemplo -35 cmtn/tn A Cargas caso A M A Δ = θ A 56

58 Ejemplo Cargas caso i d M = Δ θ + θ i d 57

59 Ejemplo Cargas caso C i d M C = Δ θ + θ Ci Cd 58

60 L de deformaciones Aplicación directa del principio de reciprocidad de deformaciones La carga móvil desaparece y se sustituye por un valor unidad en la dirección de la deformación cuya L se busca. El aspecto de la L definido por la deformación en la trayectoria (punto l): identificar máximos. Cálculo de deformaciones. θ =Δ () z Caso Caso 59

61 Müller-reslau para celosías isostáticas Si se elimina el esfuerzo cuya L se pretende hallar, la estructura se transforma en un mecanismo: no se puede seguir el método de flexibilidad como se ha expuesto. Aplicaremos el Principio del Trabajo Virtual Así lo enunció Müller-reslau Se elimina el esfuerzo (reacción, interior) cuya L se busca. El mecanismo obtenido puede tener movimientos de sólido rígido, sin acumular energía elástica. El PTV indica que el trabajo virtual efectuado por las fuerzas aplicadas es nulo: δw = δu = 0 60

62 Müller-reslau para celosías isostáticas Fuerzas que actúan Fuerza móvil unitaria () Esfuerzo buscado E Reacciones: no producen Trabajo Virtual Desplazamiento virtual aplicado Dirección de la fuerza móvil δ Ι Dirección del esfuerzo δ E δw = E δ + δ = 0 E 6

63 Müller-reslau para celosías isostáticas El esfuerzo vale: E δ = δ E Tomando un desplazamiento virtual unidad δ E = en la dirección del esfuerzo E = δ con δ =+ El esfuerzo buscado es: - la deformación virtual en la dirección de la carga móvil (cambiada de signo), - cuando en la dirección del esfuerzo se aplica una deformación virtual unidad. Cómo se hace en la práctica? E 62

64 Müller-reslau para celosías isostáticas Aplicar una deformación virtual unidad en la dirección del esfuerzo: 63 Se introduce en la barra un error en longitud λ, de valor + La deformada que se obtiene de la estructura es la línea de influencia, cambiada de signo) E = δ con δ =+ En la estructura no aparecen esfuerzos (es isostática sin fuerzas), sólo deformaciones Truco práctico: se hace la barra más corta (λ=-) y la deformada es directamente la L buscada E = δ con δ = E E

65 Müller-reslau para celosías isostáticas Se introduce en la barra un error en longitud λ, de valor - La deformada que se obtiene de la estructura es la línea de influencia. La deformada se calcula por el método de rigidez. Comprobar que salen N=0 64

66 Ejemplo L del esfuerzo en la diagonal CK (cespla) 65

67 Ejemplo L del esfuerzo en la barra A (cespla) 66

68 67 Ejemplo. Celosía compuesta

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